a) Ta có: $$\angle AMB = \angle ANB = 90^\circ$$ (do $$AB$$ là đường đường kính của đường tròn $$(O)$$). Vì vậy, $$AM \perp MB$$ và $$AN \perp NB$$. Do đó, tam giác $$MNP$$ là tam giác cân tại $$N$$.

b) Ta có: $$\angle OIM = \angle OIP + \angle PIM = 90^\circ + \angle PAM = 90^\circ + \angle PBM$$ (do $$AM$$ và $$BM$$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $$(O)$$). Tương tự, ta có $$\angle ONM = \angle ONB + \angle BNM = 90^\circ + \angle ABN = 90^\circ + \angle BAM$$. Như vậy, $$\angle OIM = \angle ONM$$. Do đó, $$OM = ON$$. Vì $$ON$$ là đường cao của tam giác $$MNP$$ cân, nên $$ON$$ cũng là đường trung bình của tam giác $$MNP$$ cân. Do đó, $$ON$$ là đường đối xứng của $$NP$$ qua trục đối xứng là đường trung tuyến $$MN$$ của tam giác $$MNP$$. Vậy, $$O1 = R$$ và $$MN$$ là tiếp tuyến của đường tròn $$(O)$$.

c) Ta có: $$\angle AMB = \angle ANB = 90^\circ$$, nên $$AM \cdot BN = AN \cdot BM = R^2$$. Vậy, $$AM \cdot BN = R^2$$.

d) Gọi $$S_{AMNB}$$ là diện tích của tứ giác $$AMNB$$. Ta có: $$S_{AMNB} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BN \cdot \sin \angle AMB = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin \angle AMB$$. Vì $$\sin \angle AMB$$ là hằng số, nên để $$S_{AMNB}$$ nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $$R^2$$. Ta biết rằng $$R^2 = AM \cdot BN$$, nên để $$R^2$$ nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $$AM \cdot BN$$. Từ bài toán c), ta biết rằng $$AM \cdot BN = R^2$$, nên để $$AM \cdot BN$$ nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $$R^2$$. Vậy, để diện tích tứ giác $$AMNB$$ nhỏ nhất, ta cần chọn $$M$$ sao cho $$R^2$$ nhỏ nhất. Khi đó, $$AM \cdot BN = R^2$$ đạt giá trị nhỏ nhất, và $$S_{AMNB}$$ cũng đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $$Ax, By$$ là tiếp tuyến của $$(O)\to Ax\perp OA, OB\perp By\to AB\perp Ax, AB\perp By$$

$$\to Ax//By$$

$$\to\dfrac{OM}{OP}=\dfrac{OA}{OB}=1$$

$$\to OM=OP$$

$$\to O$$ là trung điểm $$MP$$

Mà  $$ON\perp MP\to NO$$ là trung trực $$MP$$

$$\to NM=MP$$

$$\to \Delta MNP$$ cân tại $$N$$

b.Ta có: $$\Delta MNP$$ cân tại $$N, NO\perp MP\to NO$$ là phân giác $$\widehat{MNP}$$

                $$OI\perp NM, OB\perp NP$$

$$\to OI=OB=R$$

$$\to I\in (O)$$

Mà $$OI\perp MN=I$$

$$\to MN$$ là tiếp tuyến của $$(O)$$

c.Ta có: $$MA, MI$$ là tiếp tuyến của $$(O)\to MA=MI$$

               $$NI,, NB$$ là tiếp tuyến của $$(O)\to NI=NB$$

$$\to AM\cdot BN=IM\cdot IN=IO^2=R^2$$

d.Ta có:

$$S_{AMNB}=\dfrac12AB\cdot (AM+BN)\ge \dfrac12AB\cdot 2\sqrt{AM\cdot BN}=\dfrac12AB\cdot 2\sqrt{R^2}=\dfrac12\cdot 2R\cdot 2R=2R^2$$

$$\to $$Dấu = xảy ra khi $$AM=BN=R$$

$$\to AM=R$$