Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Ta có: $$M, N$$ lần lượt là trung điểm của $$AB, CD$$
$$\Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}AB, CN = \dfrac{1}{2}CD$$
Mà $$AB = CD (ABCD$$ là hình bình hành$$)$$
$$\Rightarrow AM = CN$$

Xét tứ giác $$AMCN$$, ta có:
$$\begin {cases} AM = CN (cmt) \\ AM // CN (AB // CD, M \in AB, N \in CD) \end {cases}$$ 

$$\Rightarrow AMCN$$ là hình bình hành $$($$tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau$$)$$
b) Ta có: $$ABCD$$ là hình bình hành $$(gt), I$$ là giao điểm của $$AC$$ và $$BD$$

$$\Rightarrow I$$ là trung điểm của $$AC$$
Ta có: $$AMCN$$ là hình bình hành $$(cmt)$$
$$\Rightarrow AC$$ cắt $$MN$$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $$I$$ là trung điểm của $$AC$$

$$\Rightarrow I$$ là trung điểm của $$MN$$

$$\Rightarrow I \in MN$$

$$\Rightarrow M, N, I$$ thẳng hàng

Xét $$\Delta ABC$$, ta có:

$$\begin {cases} BI\text{ là đường trung tuyến của } \Delta ABC (I\text{ là trung điểm của } AC) \\ CM\text{ là đường trung tuyến của } \Delta ABC (M \text{ là trung điểm của } AB) \\  BI \text{ cắt } CM \text{ tại } E\end {cases}$$

$$\Rightarrow E$$ là trọng tâm của $$\Delta ABC$$

$$\Rightarrow BE = \dfrac{2}{3}BI$$

Mà $$BI = BE + EI = \dfrac{2}{3}BI + EI$$

$$\Rightarrow EI = \dfrac{1}{3}BI$$

$$\Rightarrow BI = 3EI$$