Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Thoạt nhìn thì đơn giản nhưng lại khá rắc rối
Để hình đỡ rối đầu tiên ta cm bài toán sau:
$$EI∩AC = Q$$ thì $$ IE = IQ$$
Vẽ $$ EP//AC (P ∈ BC)$$ (hình 1)
$$ ⇒ ΔBEP$$ cân $$E ⇒ BF = FP$$
Ta có: $$ IH = IF - FH = \dfrac{BC}{2} - FH$$
$$ BH - FH = BF = FP$$
$$ ⇒ IP = IF - FP = \dfrac{BC}{2} - IH$$
$$ CH - IH = IC ⇒ ECQP$$ là hbh $$(*)$$
Từ $$(*) ⇒ IE = IQ ⇒ ΔEKQ$$ cân $$ K$$
Và $$(*) ⇒ BE = EP = CQ (1)$$
$$ ⇒ KE = KQ (1)$$
Đến đây ta sẽ cm $$ KB⊥AB; KC⊥AC $$(h.2)
Ta lại có $$: BK = CK (3)$$
$$ (1); (2); (3) ⇒ ΔBEK = ΔCQK (c.c.c)$$
$$ ⇒ BKE = CKQ ⇒ BKC = EKQ (4)$$
Lại có $$ : BEK = CQK $$
$$ ⇒ EAQ + EKQ = 360^{0} - (AEK + AQK)$$
$$ = 360^{0} - (AEK + BEK) = 180^{0} (5)$$
$$ (4); (5) ⇒ BAC + BKC = 180^{0}$$
$$ ⇒ ABK + ACK = 180^{0} $$
$$ ⇒ ABK = ACK = 90^{0}$$
$$ ⇒Δ BHK ≈ ΔAHB ≈ ΔEFB$$ nên:
$$ \dfrac{HK}{BC} = \dfrac{HK}{2BH} = \dfrac{BF}{2EF} (đpcm)$$
