Đáp án:

a) Xét tứ giác $$BHCK$$ có:

$$M$$ là trung điểm của $$BC$$ (giả thiết).

$$M$$ là trung điểm của $$HK$$ ($$MH=MK$$).

$$\Rightarrow BHCK$$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) $$BHCK$$ là hình bình hành (chứng minh trên).

$$\Rightarrow BK//HC$$ mà $$HC\,\bot\,AB$$ (đường cao)

$$\Rightarrow AB\,\bot\,BK$$ (từ vuông góc đến song song đảo).

c) $$M$$ là trung điểm của $$BC$$ (giả thiết)

$$\Rightarrow ME$$ là đường trung tuyến của $$\Delta BCE$$
Mà $$\Delta BCE$$ vuông tại $$E\Rightarrow ME=\dfrac12BC$$.
$$M$$ là trung điểm của $$BC$$ (giả thiết).

$$\Rightarrow MF$$ là đường trung tuyến của $$\Delta BCF$$
Mà $$\Delta BCF$$ vuông tại $$F\Rightarrow MF=\dfrac12BC=ME$$
$$\Rightarrow\Delta MEF$$ cân (hai cạnh bên bằng nhau).

d) Xét tứ giác $$BFCQ$$ có:

$$\widehat{BFC}=90^\circ$$ ($$CF\,\bot\,AB$$).

$$\widehat{FBQ}=90^\circ$$ ($$AB\,\bot\,BK$$).

$$\widehat{BQC}=90^\circ$$ ($$CQ\,\bot\,BK$$).

$$\Rightarrow BFCQ$$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

$$\Rightarrow BC=FQ$$ (hai đường chéo bằng nhau).

$$\Rightarrow M$$ là trung điểm $$FQ$$ (đường chéo cắt tại trung điểm).

$$\Rightarrow ME$$ là đường trung tuyến của $$\Delta EFQ$$
$$ME=\dfrac12BC=\dfrac12PQ\Rightarrow\Delta EFQ$$ vuông tại $$E$$
$$\Rightarrow EF\,\bot\,EQ$$.