Giải thích các bước giải:
1.Ta có: $$HD\perp AB, HE\perp AC, AB\perp AC\to ADHE$$ là hình chữ nhật
Vì $$\Delta AHB$$ vuông tại $$H, HD\perp AB\to AD\cdot AB=AH^2$$
Tương tự $$AE\cdot AC=AH^2$$
$$\to AD\cdot AB=AE\cdot AC$$
2.Ta có: $$AD\cdot AB=AE\cdot AC$$
$$\to \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$$
Mà $$\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$$
$$\to \Delta AED\sim\Delta ABC(c.g.c)$$
$$\to \widehat{ADE}=\widehat{ACB}$$
Ta có: $$AM\perp DE\to \widehat{MAC}=\widehat{IAE}=90^o-\widehat{AEI}=90^o-\widehat{AED}=\widehat{ADE}=\widehat{ACM}$$
$$\to \Delta AMC$$ cân tại $$M\to AM=MC$$
Mà $$\widehat{MAB}=90^o-\widehat{MAC}=90^o-\hat C=\hat B$$
$$\to \Delta MAB$$ cân tại $$M\to MA=MB$$
$$\to MB=MC(=MA)$$
$$\to M$$ là trung điểm $$BC$$
3.Ta có: $$HD\perp AB, HE\perp AC, AB\perp AC\to ADHE$$ là hình chữ nhật
$$\to DE=AH\le AM=\dfrac12BC$$
Ta có: $$S_{ABDHE}=AD\cdot DH\le\dfrac12(AD^2+DH^2)=\dfrac12AH^2\le\dfrac12AM^2=\dfrac12\cdot (\dfrac12BC)^2=\dfrac18BC^2$$
Dấu = xảy ra khi $$AH=AM\to \Delta ABC$$ có đường cao đồng thời là trung tuyến
$$\to \Delta ABC$$ vuông cân tại $$A$$
