Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $$\Delta AHB$$ vuông tại $$H, HD\perp AB\to AD\cdot AB=AH^2$$

                $$\Delta AHC$$ vuông tại $$H, HE\perp AC\to AH^2=AE\cdot AC$$

$$\to AH^2=AD\cdot AB=AE\cdot AC$$

b.Xét $$\Delta ABC,\Delta ADE$$ có:
Chung $$\hat A$$

$$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$$ vì $$AD\cdot AB=AE\cdot AC$$

$$\to \Delta ABC\sim\Delta AED(c.g.c)$$

c.Ta có: $$HD\perp AB, HE\perp AC, AB\perp AC\to ADHE$$ là hình chữ nhật 

Gọi $$AM\cap DE=F$$

Vì $$\Delta ABC$$ vuông tại $$A, M$$ là trung điểm $$BC\to MA=MB=MC=\dfrac12BC\to \Delta MAC$$ cân tại $$M$$

$$\to \widehat{FAE}=\widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\widehat{ACH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{HAD}=\widehat{ADE}$$

Mà $$\widehat{AEF}=\widehat{AED}$$

$$\to \Delta AEF\sim\Delta DEA(g.g)$$

$$\to \widehat{AFE}=\widehat{DAE}=90^o\to MA\perp DE$$

$$\to NO\perp AM$$

Mà $$AO\perp NM$$

$$\to O$$ là trực tâm $$\Delta ANM$$

$$\to OM\perp AN$$