Giải thích các bước giải:

a.Xét $$\Delta BFC,\Delta CEB$$ có:
Chung $$BC$$

$$\widehat{FCB}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{EBC}$$

$$CF=\dfrac12AC=\dfrac12AB=BE$$

$$\to\Delta BFC=\Delta CEB(c.g.c)$$

$$\to BF=CE$$

b.Ta có: $$E, F$$ là trung điểm $$AB,AC\to EF$$ là đường trung bình $$\Delta ABC$$

$$\to EF//BC$$

Mà $$\widehat{EBC}=\widehat{FCB}$$

$$\to BCFE$$ là hình thang cân

c.Ta có: $$EB=EF\to \widehat{EBF}=\widehat{EFB}=\widehat{FBC}$$ vì $$EF//BC$$

$$\to \Delta BCA$$ có đường phân giác $$BF$$ đồng thời là trung tuyến

$$\to \Delta ABC$$ cân tại $$B\to BA=BC$$

Mà $$AB=AC\to \Delta ABC$$ đều

Do $$BF\cap CE=I\to I$$ là trọng tâm $$\Delta ABC$$

$$\to I$$ đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp $$\Delta ABC$$

d.Ta có: $$I$$ là trọng tâm $$\Delta ABC$$

$$\to IE=\dfrac13CE=\dfrac13BF=IF$$

$$\to IN=2IE=2IF=IM$$

Ta có: $$AB\cap IN=E$$ là trung điểm mỗi đường $$\to AIBN$$ là hình bình hành

$$\to AN//BI, AN=BI$$

$$\to AN//IM, AN=IB=2IF=IM\to AMIN$$ là hình bình hành 

Kết hợp $$IN=IM\to ANIM$$ là hình thoi

$$\to AI$$ là trung trực $$MN$$

Ta có: $$I$$ là trọng tâm $$\Delta ABC\to AI$$ là trung tuyến $$\Delta ABC$$

Vì $$\Delta ABC$$ cân tại $$A\to AI$$ đồng thời là phân giác, trung trực $$BC$$

Vì $$AE=\dfrac12AB=\dfrac12AC=AF\to \Delta AEF$$ cân tại $$A$$

    $$AI$$ là phân giác $$\widehat{EAF}$$

$$\to AI$$ là trung trực $$EF$$

$$\to AI$$ là trung trực $$MN, EF, BC$$