Đáp án + Giải thích các bước giải:

$$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 - 2m + 5 = 0(a = 1; b = -2(m + 1); c =m^2 - 2m + 5 = 0)$$

$$\Delta = b^2 - 4ac = [-2(m + 1)]^2 - 4(m^2 - 2m + 5)$$

$$= 4(m^2 + 2m + 1) - 4m^2 + 8m - 20$$

$$= 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 + 8m - 20$$

$$= 16m - 16$$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $$x_1, x_2 \Leftrightarrow \Delta > 0$$

$$\Leftrightarrow 16m - 16 > 0$$

$$\Leftrightarrow m > 1$$
Theo định lý Viet, ta có:

$$\begin {cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{2(m + 1)}{1} = 2m + 2 \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{m^2 - 2m + 5}{1} = m^2 - 2m + 5 \end {cases}$$

Ta có: $$x_1x_2 = m^2 - 2m + 5 > 0$$AA m

$$\Leftrightarrow x_1, x_2$$ cùng dấu

Mà $$x_1 + x_2 = 2m + 2 > 0$$AA m > 1

$$\Rightarrow x_1 > 0, x_2 > 0$$AA m > 1

$$\sqrt{4x_1^2 + 4mx_1 + m^2} + \sqrt{x_2^2 + 4mx_2 + 4m^2} = 7m + 2$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{(2x_1 + m)^2} + \sqrt{(x_2 +2m)^2} = 7m + 2$$
$$\Leftrightarrow  |2x_1 + m| + |x_2 + 2m| = 7m + 2$$

Ta có: $$x_1 > 0, x_2 > 0$$AA m > 1

$$\Rightarrow \begin {cases} 2x_1 + m > 0\\ x_2 + 2m > 0 \end {cases}$$AA m > 1

$$\Rightarrow |2x_1 + m| + |x_2 + 2m| = 2x_1 + m + x_2 + 2m = 7m + 2(m > 1)$$

$$\Leftrightarrow 2x_1 + x_2 = 4m + 2$$

$$\Leftrightarrow x_1 + 2m + 2 = 4m + 2$$

$$\Leftrightarrow x_1 = 2m \Rightarrow x_2 = 2$$

$$\Rightarrow x_1x_2 = 4m = m^2 - 2m + 5$$

$$\Leftrightarrow m^2 - 6m + 5 = 0$$

$$\Leftrightarrow$$ \(\left[ \begin{array}{l}m=1(\rm ktm)\\m = 5(\rm tm)\end{array} \right.\) 

Vậy $$m = 5$$

Ta có: \Delta' = (m+1)^2-(m^2-2m+5)=4m-4

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

<=> \Delta'  > 0

<=> 4m-4 > 0

<=> m > 1

Theo hệ thức Viet, có:

{(x_1+x_2=2m+2),(x_1x_2=m^2-2m+5):}

Ta có: x_1x_2=m^2-2m+5=(m-1)^2+4 > 0 \ \forall \ m in RR

=> x_1,x_2 cùng dấu

Ta có: sqrt(4x_1^2+4mx_1+m^2)+sqrt(x_2^2+4mx_2+4m^2)=7m+2

<=> sqrt((2x_1+m)^2)+sqrt((x_2+2m)^2)=7m+2

<=> abs(2x_1+m)+abs(x_2+2m)=7m+2

Ta có: 7m+2 >= 0 <=> m >= -2/7 => Hai nghiệm x_1,x_2 cùng dương

TH1: {(2x_1+m >= 0),(x_2+2m >= 0):}

<=> {(x_1 >= -m/2),(x_2 >= -2m):}

2x_1+m+x_2+2m=7m+2

<=> 2x_1+m-x_1+2m+2+2m=7m+2

<=> x_1=2m

=> x_2=2

=> 2(2m)=m^2-2m+5

<=> m=5 (Thỏa mãn) hoặc m=1 (Loại)

TH2: {(2x_1+m <= 0),(x_2+2m <= 0):}

<=> {(x_1 <= -m/2),(x_2 <= -2m):}

2x_1+m+x_2+2m=-7m-2

<=> 2x_1+m-x_1+2m+2+2m=-7m-2

<=> x_1=-12m-4

=> x_2=14m+6

=> (14m+6)(-12m-4)=m^2-2m+5 (Vô nghiệm)

TH3: {(2x_1+m <= 0),(x_2 + 2m >= 0):}

<=> {(x_1 <= -m/2),(x_2 >= -2m):}

-2x_1-m+x_2+2m=7m+2

<=> -2x_1-m-x_1+2m+2+2m=7m+2

<=> x_1=-(4m)/3

=> x_2=(10m)/3+2

=> -((4m)/3)*((10m)/3+2)=m^2-2m+5 (Vô nghiệm)

TH4: {(2x_1+m >= 0),(x_2 + 2m <= 0):}

<=> {(x_1 >= -m/2),(x_2 <= -2m):}

2x_1+m-x_2-2m=7m+2

<=> 2x_1+m+x_1-2m-2-2m=7m+2

<=> x_1=(10m+4)/3

=> x_2=-(4m-2)/3

=> -(10m+4)/3*(4m-2)/3=m^2-2m+5 (Vô nghiệm)

Vậy m=5