a)Vì AB = 2BC và I là trung điểm của AB nên AI = IB và IC = CK với K là trung điểm của DC.
Ta có AI = IB và AD = DC vì ABCD là hình chữ nhật, nên theo nguyên lý hai cạnh bằng nhau của tam giác, ta có tam giác AID đồng dạng với tam giác BKC.
Do đó, góc AIK = góc BCK và góc AKI = góc BKC (do tam giác AID đồng dạng với tam giác BKC). Vậy ta có:
góc AIK + góc AKI = góc BCK + góc BKC = 90°(1)
Tương tự, ta có góc KAI + góc KIA = 90°(2)
Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác AIKD là hình vuông.
Vì IB = AI và BC = AD, theo nguyên lý hai cạnh bằng nhau, ta có tam giác BIC đồng dạng với tam giác AKD.
Do đó, góc BIK = góc AKD và góc BKC = góc AKD (do tam giác BIC đồng dạng với tam giác AKD). Vậy ta có:
góc BIK + góc BKC = góc AKD + góc AKD = 90°(3)
Tương tự, ta có góc KBI + góc KBC = 90°(4)
Từ (3) và (4) ⇒ tứ giác BIKC là hình vuông.
b)Vì AI = IB và DK = KC (do K là trung điểm của DC), ta có AK || BI và KD || IC. Từ đó, góc AKB = góc BIK và góc KDC = góc KIC.
⇒ góc AKB + góc KDC = góc BIK + góc KIC. Nhưng tứ giác AIKD và BIKC là hình vuông
⇒ góc AKB + góc KDC = 90°.
Do đó, góc BIK + góc KIC = 90°. Từ đây, suy ra góc DIC = 90° và ID = IC
⇒ tam giác DIC là tam giác vuông cân.
c) Vì S là tâm của hình vuông AIKD nên SI song song và bằng một nửa cạnh KD của hình vuông AIKD. Tương tự, R là tâm của hình vuông IBCK nên RK song song và bằng một nửa cạnh KB của hình vuông IBCK.
Vì AIKD và BIKC là hình vuông (đã chứng minh ở phần a), nên AK || BI và KD || KC. Như vậy, AK || BI || KC || KD.
Nhưng S là tâm của hình vuông AIKD nên SI vuông góc với AK và KD. Tương tự, R là tâm của hình vuông IBCK nên RK vuông góc với KB và KC.
Vậy, ta có: SI ⊥ AK, SI ⊥ KD, RK ⊥ KB, RK ⊥ KC.
Kết hợp với AK || KC và KD || KB, ta có SI ⊥ KC và RK ⊥ KC.
Vậy, SI và RK đều vuông góc với KC và cắt nhau tại K.
⇒ SK = KR.
⇒ ISKR là hình vuông.
Xin Hay nhất
