Đầu tiên, ta có thể mở ngoặc bên trái và bên phải của bất đẳng thức để thu được:

(p^2 - \sum_{i = 1}^{n} a_i^2)(q^2 - \sum_{i = 1}^{n} b_i^2) - (pq - \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2 <= 0

Tiếp theo, ta có thể phân tích biểu thức bên trái của bất đẳng thức:

(p^2 - \sum_{i = 1}^{n} a_i^2)(q^2 - \sum_{i = 1}^{n} b_i^2) - (pq - \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2 = (p^2q^2 - p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2) - (p^2q^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2)

Tiếp theo, ta có thể rút gọn biểu thức trên:

(p^2q^2 - p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2) - (p^2q^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2) = - p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2

Tiếp theo, ta có thể nhóm các thành phần của biểu thức trên:

- p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2 = - (p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 + q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2) + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2

Cuối cùng, ta có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng:

- (p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 + q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2) + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 = - (p\sum_{i = 1}^{n} b_i - q\sum_{i = 1}^{n} a_i + \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2 + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2

Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức

 (p^2 - \sum_{i = 1}^{n} a_i^2)(q^2 - \sum_{i = 1}^{n} b_i^2) <= (pq - \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2