BÀI 1: Trong tam giác ABC, ta biết đường cao BE và CF cắt nhau tại trọng tâm G. Ta cần chứng minh rằng hình thang FECB là hình thang cân.

Gọi D là giao điểm của hai đường cao BE và CF. Ta có:

• Vì ΔABC cân tại A, nên AD là đường cao của tam giác.
• Đồng thời, vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG cũng là đường cao của tam giác.

Do đó, AD và AG là một đường thẳng duy nhất, nghĩa là D, E và F thẳng hàng.

Xét tam giác FED, ta có:

• EF // BC (do FE//BC theo tính chất của hình thang cân)
• DF = DE (hai cạnh bên cùng bằng nhau)

Vậy, ta có tam giác FED là tam giác cân.

Từ đây, suy ra hình thang FECB là hình thang cân.

BÀI 2: Trong tam giác ABC cân tại A, M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Gọi O là giao điểm của MN và BC. Ta cần xác định hình dạng của tứ giác MNCB.

Do M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC, ta có:

• MN // BC (do hai đường thẳng song song với cạnh của tam giác cân là cắt nhau một điểm ở vô cùng)
• MN = 1/2 * BC (do M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC)

Suy ra, tứ giác MNCB là hình bình hành.

                                        -Trang Nhung-

                                -Mình xin 5 sao và hay nhất ạ, chúc bạn học tốt-

$$\textit{ Lời giải : }$$

  Bài 1 .  

$$\text{ Ta có : }$$ 

+ $$\text{ BE là đường cao ( gt ) }$$

→ $$\widehat{ BEC }$$ = 90°  

+ $$\text{ CF là đường cao ( gt ) }$$

→ $$\widehat{ BFC }$$ = 90°  

+ $$\text{ Lại có : Δ ABC cân tại A , có : }$$

$$\widehat{ ABC }$$ $$ = $$ $$\widehat{ ACB }$$

→ $$\widehat{ FBC }$$ $$ = $$ $$\widehat{ ECB }$$ $$\text{ ( F ∈ AB ; E ∈ AC ) }$$

  + $$\text{ Xét Δ FBC và Δ ECB , có : }$$

BC chung  

$$\widehat{ BFC }$$ $$ = $$ $$\widehat{ BEC }$$

$$\text{ ( = 90° ) }$$ 

$$\widehat{ FBC }$$ $$ = $$ $$\widehat{ ECB }$$

$$\text{ ( cmt ) }$$

→ $$\text{ Δ FBC = Δ ECB ( cạnh }$$

$$\text{ huyền - góc nhọn ) }$$

→ $$\text{ FB = EC ( hai cạnh tương }$$

$$\text{ ứng ) }$$

  + $$\text{ Mặt khác : AB = AF + FB }$$

$$\text{ ( F ∈ AB ) }$$

và $$\text{ AC = AE + EC ( E ∈ AC ) }$$

$$\text{ Mà FB = EC ( cmt ) ; AB = AC ( }$$

$$\text{ Δ ABC cân tại A ) }$$

→ $$\text{ AF = AE }$$

$$\text{ Xét Δ AFE , có : AF = AE ( cmt ) }$$

→ $$\text{ Δ AFE cân tại A }$$

→ $$\widehat{ AEF }$$ = $$\frac{ 180° - \widehat{ FAE } }{ 2 }$$ ( 1 )  

$$\text{ Do Δ ABC cân tại A nên }$$

$$\widehat{ ACB }$$ = $$\frac{ 180° - \widehat{ BAC }}{ 2 }$$  ( 2 )  

$$\text{ Từ ( 1 ) , ( 2 ) , }$$

$$\widehat{ FAE }$$ và $$\widehat{ BAC }$$ 

$$\text{ là một suy ra : }$$

$$\widehat{ AEF }$$ $$ = $$ $$\widehat{ ACB }$$

$$\text{ Mà hai góc này ở vị trí đồng vị  }$$

→ $$\text{ EF // BC }$$

$$\text{ Xét tứ giác EFBC , có : }$$

$$\text{ EF // BC ( cmt ) }$$

→ $$\text{ EFBC là hình thang }$$

$$\text{ Xét hình thang EFBC , có : }$$

$$\widehat{ FBC }$$ $$ = $$ $$\widehat{ ECB }$$

$$\text{ ( cmt ) }$$

→ $$\text{ Hình thang EFBC là hình }$$

$$\text{ thang cân ( đpcm ) }$$

$$\text{ Tí mình giải bài 2 cho ạ }$$