A. Phương pháp giải

Đối với chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng các dấu hiệu nhận biết sau:

+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180^o.

+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

+ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.

+ Có 4 điểm cách đều 1 điểm bên trong nó

+ Nếu có 2 cạnh kề kéo dài cắt nhau tại 1 điểm

    VD: ta có tứ giác ABCD và AD vs BC cắt nhau tại điểm E thì ta chứng minh tam giác EAB đồng dạng với tam giác ECD => ABCD nội tiếp 

+ Chứng minh theo định lý Ptolêmê (tự tìm hiểu thêm)

+ Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ  nhật, hình vuông, hình thang cân.

Đối với bài toán tính góc, ta sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp để tính toán. 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Tính số đo các góc của tứ giác ABCD

Hướng dẫn giải

Do ABCD là tứ giác nội tiếp nên 

Vì  nên 

Ta có: 

⇒ 

Vậy  .

Ví dụ 2 : Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh các tứ giác EBOM và DCMO nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

– Chứng minh tứ giác EBOM nội tiếp

Có OM ⊥ ME (gt) nên góc 

OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) nên góc 

⇒ 

Tứ giác EBOM nội tiếp trong đường tròn đường kính OE.

– Chứng minh tứ giác DCMO nội tiếp

Có OM ⊥ DM (gt) nên góc 

CD ⊥ OC (CĐ là tiếp tuyến của (O)) nên góc 

Nên M, C là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn OD dưới một góc 90^o

⇒ Tứ giác DCMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OD.

Ví dụ 3 : Qua điểm B nằm ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm). Từ B vẽ cát tuyến BMN (M nằm giữa B và N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO), gọi H là giao điểm của BO và CD.

a. Chứng minh BM.BN = BH.BO.

b. Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp.

Hướng dẫn giải

a. Ta có: BC = BD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OC = OD (bán kính đường tròn (O))

BO là đường trung trực của CD ⇒ BO ⊥ CD (1)

Xét ΔBMC và ΔBCN có:

 : chung

 (cùng chắn cung  )

⇒ ΔBMC ∼ ΔBCN (g – g)

⇒  ⇒ BM.BN = BC² (2)

Do (1) ta có △BCO vuông tại C, đường cao CH:

⇒ BC² = BH.BO (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (3)

Từ (2) và (3) ⇒ BM.BN = BH.BO.

b. Ta có: BM.BN = BH.BO (chứng minh trên)

⇒ 

ΔBMO và ΔBHN có:

 : chung

⇒ ΔBMO ∼ ΔBHN (c – g – c)

⇒ (hai góc tương ứng)

⇒ Tứ giác OHMN nội tiếp (hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh).

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho hình vẽ sau, biết  . Đáp án nào sau đây SAI

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có:  (hai góc kề bù)

Ta lại có :  (ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn)

Lại có  là góc ngoài của ΔECB

 (ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn)

Vậy 

Câu 2 : Phát biểu nào sau đây sai ?

A. Tứ giác nội tiếp có 4 đỉnh cùng nằm trên cùng một đường tròn

B. Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180^o thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

C. Trong một tứ giác nội tiếp tổng hai góc bất kì bằng 180^o

D. Hinh chữ nhật luôn nội tiếp đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Trong tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối mới bằng 180^o .

Câu 3 : Số đo góc A trong hình vẽ

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)

Mà