Đường tròn apollonius.
Phần thuận:
KMTTQ giả sử $$MA>MB$$
Kẻ phân giác trong $$MX$$, phân giác ngoài $$MY$$ của $$\widehat{AMB}$$
$$\Rightarrow \widehat{XMY}=90^o$$
Ta có: $$\dfrac{XA}{XB}=\dfrac{YA}{YB}=\dfrac{MA}{MB}=k$$ nên $$XA=\dfrac{ABk}{k-1},YA=$$
$$\Rightarrow X,Y$$ cố định.
Do đó $$M$$ thuộc $$[XY]$$ cố định.
Phần đảo:
Lấy 1 điểm $$M'\in[DE]$$
Nếu $$M'$$ trùng $$X$$ hoặc $$Y$$ ta có đpcm.
Nếu $$M' \ne X,\ne Y$$
Kẻ $$AE\bot M'X$$ tại $$E$$ cắt $$M'B$$ tại $$N$$
Ta có: $$\dfrac{AN}{YM}'=\dfrac{AB}{YB}=1-k,\dfrac{AE}{DM'}=\dfrac{AC}{YC}=\dfrac{1-k}{2}$$
Nên $$AN=2AE$$ hay $$\Delta M'AN$$ cân tại $$M'$$
Do đó $$\dfrac{M'A}{M'B}=\dfrac{M'N}{M'B}=\dfrac{CA}{CB}=k=\dfrac{MA}{MB}$$
$$\Rightarrow M\equiv M'$$
