Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $$\Delta AEH,\Delta BEC$$ vuông tại $$E$$ 

               $$I, M$$ là trung điểm $$AH, BC$$

$$\to IE=IA=IH=\dfrac12AH, ME=MB=MC=\dfrac12BC$$

$$\to\Delta IEH,\Delta MEC$$ cân tại $$M$$

$$\to \widehat{IEH}=\widehat{IHE}=\widehat{AHE}=90^o-\widehat{HAE}=90^o-\widehat{DAC}=\widehat{DCA}=\widehat{MCE}=\widehat{MEC}$$

$$\to\widehat{IEM}=\widehat{IEH}+\widehat{MEB}=\widehat{MEC}+\widehat{MEB}=\widehat{BEC}=90^o$$

b.Ta có: $$\widehat{ALH}=\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{AKH}$$

$$\to A, L, F, H, K, E\in$$ đường tròn đường kính $$AH$$

$$\to \widehat{NAE}=\widehat{KAE}=\widehat{KFE}=\widehat{NFK}$$

Mà $$\widehat{ANE}=\widehat{BNK}$$

$$\to\Delta NAE\sim\Delta NFK(g.g)$$

$$\to\dfrac{NA}{NF}=\dfrac{NE}{NK}$$

$$\to NA\cdot NK=NE\cdot NF$$

Ta có: $$IE=IA=IH=\dfrac12AH=IF, ME=MF=MB=MC=\dfrac12BC$$

$$\to IE=IF, ME=MF, NE=NF\to I, N, M\in$$ trung trực $$EF\to IM\perp EF=N$$

$$\to EN\perp IM$$

Mà $$\widehat{IEM}=90^o\to\Delta EIM$$ vuông tại $$E$$

$$\to NI\cdot NM=NE^2=NE\cdot NF=NA\cdot NK$$

$$\to \dfrac{NI}{NA}=\dfrac{NK}{NM}$$

Mà $$\widehat{ANI}=\widehat{KNM}$$

$$\to \Delta NIA\sim\Delta NKM(c.g.c)$$

$$\to \widehat{NIA}=\widehat{NKM}$$

$$\to\widehat{AIM}=\widehat{AKM}$$
$$\to AIKM$$ nội tiếp

Ta có: $$\Delta AHK$$ vuông tại $$K, I$$ là trung điểm $$AH\to IA=IK=IH=\dfrac12AH\to IA=IK$$

$$\to \widehat{AMI}=\widehat{IMK}$$

$$\to MI$$ là phân giác $$\widehat{AMK}$$

c.Ta có: $$AL$$ là tiếp tuyến của $$(O)\to\widehat{LAB}=\widehat{ABC}=\widehat{ECB}=\widehat{AFE}$$

$$\to AL//EF$$

$$\to AL\perp MI$$ vì $$MI\perp EF$$

Mà $$A, L, F, H, K, E\in$$ đường tròn đường kính $$AH\to I$$ là tâm đường tròn vì $$I$$ là trung điểm $$AH$$

$$\to IA=IL$$

$$\to I\in$$ trung trực $$AL$$

Do $$MI\perp AL$$

$$\to MI$$ là trung trực $$LA$$

$$\to \widehat{AML}=2\widehat{AMI}$$

Do $$MI$$ là phân giác $$\widehat{AMK}\to \widehat{AMK}=2\widehat{AMI}$$

$$\to \widehat{AMK}=\widehat{AML}$$

$$\to M, K, L$$ thẳng hàng