a) Để chứng minh ACEB là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai đường chéo của nó bằng nhau và vuông góc với nhau.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có MA = ME.
- Đường chéo AC của hình chữ nhật ACEB là đường cao của tam giác ABC, và đường chéo BE là đường phân giác góc BAC.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AM cũng là đường phân giác góc BAC.
- Do đó, hai đường chéo AC và BE của hình chữ nhật ACEB là vuông góc với nhau.
- Vì MA = ME (theo đề bài), nên đường chéo AC chia đôi đường ME. Tương tự, đường chéo BE chia đôi đường MA.
+ Vậy, ACEB là hình chữ nhật.
b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MB.
- Để chứng minh BMEF là hình thoi, ta cần chứng minh rằng các đường chéo BM và EF cắt nhau vuông góc tại một điểm.
- Gọi H là giao điểm của BM và EF. Ta cần chứng minh BH ⊥ EF.
- Vì O là trung điểm của AB, nên theo định nghĩa trung điểm, ta có OB = OA.
- Vì O là trung điểm của AF, nên theo định nghĩa trung điểm, ta có OF = OA.
- Từ OB = OF và OH chung cạnh, ta có tam giác OBF ≡ OBO (cạnh - cạnh - cạnh).
- Do đó, góc BOF = góc BOO = 90°.
- Tương tự, ta có góc EOF = góc EOO = 90°.
- Vậy, BH ⊥ EF.
+ Vậy, BMEF là hình thoi.
c) Để BMEF là hình vuông, ta cần thêm điều kiện là tam giác ABC là tam giác đều (cân và vuông tại A).
- Nếu tam giác ABC không phải là tam giác đều, thì BMEF không thể là hình vuông.

color{orange}{#Thị bình}