Đáp án:

a) $$AD,AN$$ lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh $$A$$ của $$\Delta ABC\Rightarrow AD\,\bot\,AN$$. 

Ta thấy $$\Delta AMN\backsim\Delta DAN$$ (góc-góc) do cả hai đều có góc vuông và một góc chung tại đỉnh $$N$$.
$$\Rightarrow\dfrac{AN}{MN}=\dfrac{ND}{AN}\Rightarrow AN^2=MN.ND$$.

b) Xét tứ giác $$AHDE$$ ta có:

$$DE//AH$$ (giả thiết).

$$HD//AE$$ (giả thiết).

$$\Rightarrow AHDE$$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà $$AD$$ là tia phân giác của góc $$\widehat{EAH}$$

$$\Rightarrow AHDE$$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).

$$\Rightarrow AD\,\bot\,HE$$ (hai đường chéo vuông góc).

Lại có $$AN\,\bot\,AD,AN\equiv NK\Rightarrow AD\,\bot\,NK$$

$$\Rightarrow HE//NK$$ do cùng vuông góc với $$AD$$.

c) $$AHDE$$ là hình thoi $$\Rightarrow AH=HD$$.

Xét $$\Delta ABC$$ có $$AK$$ là phân giác ngoài tại đỉnh $$A$$.

Áp dụng tính chất đường phân giác ngoài ta có:
$$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BK}{CK}$$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
Xét $$\Delta ABC$$ có $$HD//AB$$ ($$H\in AC,D\in BC$$)

Theo hệ quả của định lý Thales ta có:
$$\dfrac{HD}{HC}=\dfrac{AB}{AC}$$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
$$\Rightarrow\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BK}{CK}$$
$$\Rightarrow AH.CK=HC.BK$$ (điều phải chứng minh).