Đáp án + Giải thích các bước giải:

1/

$$\{\begin{array}{l}6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}>0\\ \sqrt{10-x^2+x}\ge 0\\ \sqrt{x^2-1-x}\ge 0\end{array}$$

⇒Với bất đẳng thức Bunhiacopski, ta luôn đúng với:

+)$$(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}{)}^2\le (6^2+8^2)({\sqrt{10-x^2+x}}^2+{\sqrt{x^2-1-x}}^2)==900$$

$$\Rightarrow 6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}\le 30$$

Dấu bằng xảy ra khi: $${\displaystyle \frac{6}{\sqrt{10-x^2+x}}}={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{x^2-1-x}}}$$ $$\iff 6\sqrt{x^2-1-x}=8\sqrt{10-x^2+x}$$ $$\iff (3\sqrt{x^2-1-x}{)}^2=(4\sqrt{10-x^2+x}{)}^2$$ $$\iff 9(x^2-1-x)=16(10-x^2+x)$$ $$\iff 25x^2-25x-169=0$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{x}_1={\displaystyle \frac{5+\sqrt{701}}{10}}\\ x_2={\displaystyle \frac{5-\sqrt{701}}{10}}\end{array}\text{(thỏa mãn điều kiện)}$$      

$$\begin{gathered} \text{Xét }(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}{)}^2 \\ =(6\sqrt{10-x^2+x}{)}^2+(8\sqrt{x^2-1-x}{)}^2+96\sqrt{(10-x^2+x)(x^2-1-x)} \\ \ge 36(10-x^2+x)+64(x^2-1-x)+96.0.0 \\ ={28}^2-28x+296 \end{gathered}$$

⇒Để $$(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}{)}^2$$ nhỏ nhất thì $$28x^2-28x+296$$ phải nhỏ nhất              trong khi $$96\sqrt{(10-x^2+x)(x^2-1-x)}\ge 0\mathrm{\forall }x$$                                                                      $$\Rightarrow 96\sqrt{(10-x^2+x)(x^2-1-x)}$$ nhỏ nhất với $$\{\begin{array}{l}10-x^2+x=0\\ x^2-1-x=0\end{array}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\in \text{{}\text{dfrac{1+sqrt{41}}{2};dfrac{1-sqrt{41}}{2}}\text{}}\\ x\in \text{{}\text{dfrac{1+sqrt{5}}{2};dfrac{1-sqrt{5}}{2}}\text{}}\end{array}\text{(thỏa mãn điều kiện)}$$

$$\iff x\in \text{{}\text{dfrac{1+sqrt{5}}{2};dfrac{1-sqrt{5}}{2};dfrac{1+sqrt{41}}{2};dfrac{1-sqrt{41}}{2}}\text{}}$$   

Với $$x\in \text{{}\text{dfrac{1+sqrt{41}}{2};dfrac{1-sqrt{41}}{2}}\text{}}$$ thì $$28x^2-28x+296=576$$                  Với $$x\in \text{{}\text{dfrac{1+sqrt{5}}{2};dfrac{1-sqrt{5}}{2}}\text{}}$$ thì $$28x^2-28x+296=324$$      

⇒Giá trị nhỏ nhất của $$(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}{)}^2$$ là $$324$$

⇔$$6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}\ge 18$$

Vậy $$6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}$$ có giá trị lớn nhất là 30 với $$x\in \text{{}\text{dfrac{5+sqrt{701}}{10};dfrac{5-sqrt{701}}{10}}\text{}}$$ và có giá trị nhỏ nhất là 18 với $$x\in \text{{}\text{dfrac{1+sqrt{5}}{2};dfrac{1-sqrt{5}}{2}}\text{}}$$

2/

ĐKXĐ là: $$\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ 4\sqrt{x-1}-5\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ \sqrt{x-1}\ne {\displaystyle \frac{5}{4}}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\ne {\displaystyle \frac{41}{16}}\end{array}$$

$$1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge {\displaystyle \frac{16x^2-41x}{4\sqrt{x-1}-5}}\text{(với }\text{xge1;xnedfrac{41}{16}}\text{)}$$

$$\iff 1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge {\displaystyle \frac{(16x-16-25)x}{4\sqrt{x-1}-5}}$$

$$\iff 1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge {\displaystyle \frac{16(x-1)-25}{4\sqrt{x-1}-5}}.x$$

$$\iff 1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge (4\sqrt{x-1}+5).x$$

$$\iff 4x^2-5x+1\ge 4x\sqrt{x-1}-3\sqrt{x-1}$$

$$\iff 4x^2-4x-x+1\ge (4x-3)\sqrt{x-1}$$

$$\iff (4x-1)(x-1)-(4x-3)\sqrt{x-1}\ge 0$$

$$\iff [(4x-1)\sqrt{x-1}-(4x-3)]\sqrt{x-1}\ge 0$$

$\iff [\begin{array}{l}(4x-1)\sqrt{x-1}-(4x-3)\ge 0\\ \sqrt{x-1}=0\end{array}\text{(vì }\text{forall xge1}\text{ thì }\text{sqrt{x-1}geq0}\text{)}$

$\iff [\begin{array}{l}(4x-1)\sqrt{x-1}\ge 4x-3\\ x-1=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}[(4x-1)\sqrt{x-1}{]}^2\ge (4x-3{)}^2\\ x=1\end{array}$

$$\Rightarrow (4x-1{)}^2.(x-1)\ge (4x-3{)}^2$$

$$\iff (16x^2+1-8x)(x-1)\ge 16x^2+9-24x$$

$$\iff 16x^3-40x^2+33x-10\ge 0$$

+)Đặt $$x=b-({\displaystyle \frac{-40}{16}}:3)=b+{\displaystyle \frac{5}{6}}$$, ta có:

$$16(b+{\displaystyle \frac{5}{6}}{)}^3-40(b+{\displaystyle \frac{5}{6}}{)}^2+33(b+{\displaystyle \frac{5}{6}})-10\ge 0$$

$$\iff 16(b^3+{\displaystyle \frac{125}{216}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}{b}^2+{\displaystyle \frac{25}{12}}b)-40(b^2+{\displaystyle \frac{25}{36}}+{\displaystyle \frac{5}{3}}b)+(33b+{\displaystyle \frac{55}{2}})-10\ge 0$$

$$\iff 16b^3-{\displaystyle \frac{1}{3}}b-{\displaystyle \frac{55}{54}}\ge 0$$

$$\iff b^3-{\displaystyle \frac{1}{48}}b-{\displaystyle \frac{55}{864}}\ge 0$$

Đa thức $$b^3-{\displaystyle \frac{1}{48}}b-{\displaystyle \frac{55}{864}}$$ có $${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-{\displaystyle \frac{1}{48}}{)}^3.{\displaystyle \frac{1}{27}}+({\displaystyle \frac{-55}{864}}{)}^2.{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{7}{6912}}>0$$

⇒Phương trình này có 1 nghiệm là:

$$+)b=\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{-55}{864}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{6912}}}}+\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{-55}{864}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{6912}}}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$$

$$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$$

⇒Đa thức $$16x^3-40x^2+33x-10$$ có nghiệm là $$x=1,25$$ và hệ số a = 16 > 0

$$\Rightarrow 16x^3-40x^2+33x-10\ge 0$$ với $$x\ge 1,25$$ kết hợp với ĐKXĐ

Vậy $$\{\begin{array}{l}x\ge 1,25\\ x=1\\ x\ne {\displaystyle \frac{41}{16}}\end{array}$$