Đáp án + Giải thích các bước giải:
1/
$$\begin{cases} 6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}>0\\\sqrt{10-x^2+x}\geq0\\\sqrt{x^2-1-x}\ge0 \end{cases}$$
⇒Với bất đẳng thức Bunhiacopski, ta luôn đúng với:
+)$$(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x})^2\le(6^2+8^2)(\sqrt{10-x^2+x}^2+\sqrt{x^2-1-x}^2)==900$$
$$⇒6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}\leq30$$
Dấu bằng xảy ra khi: $$\\\dfrac{6}{\sqrt{10-x^2+x}}=\dfrac{8}{\sqrt{x^2-1-x}}$$ $$\\⇔6\sqrt{x^2-1-x}=8\sqrt{10-x^2+x}$$ $$\\⇔(3\sqrt{x^2-1-x})^2=(4\sqrt{10-x^2+x})^2$$ $$\\⇔9(x^2-1-x)=16(10-x^2+x)$$ $$\\⇔25x^2-25x-169=0$$ $$⇔\begin{cases} x_1=\dfrac{5+\sqrt{701}}{10}\\x_2=\dfrac{5-\sqrt{701}}{10} \end{cases}\text{(thỏa mãn điều kiện)}$$
$$\text{Xét }(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x})^2\\=(6\sqrt{10-x^2+x})^2+(8\sqrt{x^2-1-x})^2+96\sqrt{(10-x^2+x)(x^2-1-x)}\\\ge36(10-x^2+x)+64(x^2-1-x)+96.0.0\\=28^2-28x+296$$
⇒Để $$(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x})^2$$ nhỏ nhất thì $$28x^2-28x+296$$ phải nhỏ nhất trong khi $$96\sqrt{(10-x^2+x)(x^2-1-x)}\ge0\forall x$$ $$⇒96\sqrt{(10-x^2+x)(x^2-1-x)}$$ nhỏ nhất với $$\begin{cases} 10-x^2+x=0\\x^2-1-x=0 \end{cases}$$ $$⇒\begin{cases} x\in\text{{$$\dfrac{1+\sqrt{41}}{2};\dfrac{1-\sqrt{41}}{2}$$}}\\x\in\text{{$$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$$}} \end{cases}\text{(thỏa mãn điều kiện)}$$
$$⇔x\in\text{{$$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1-\sqrt{5}}{2};\dfrac{1+\sqrt{41}}{2};\dfrac{1-\sqrt{41}}{2}$$}}$$
Với $$x\in\text{{$$\dfrac{1+\sqrt{41}}{2};\dfrac{1-\sqrt{41}}{2}$$}}$$ thì $$28x^2-28x+296=576$$ Với $$x\in\text{{$$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$$}}$$ thì $$28x^2-28x+296=324$$
⇒Giá trị nhỏ nhất của $$(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x})^2$$ là $$324$$
⇔$$6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}\ge18$$
Vậy $$6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}$$ có giá trị lớn nhất là 30 với $$x\in\text{{$$\dfrac{5+\sqrt{701}}{10};\dfrac{5-\sqrt{701}}{10}$$}}$$ và có giá trị nhỏ nhất là 18 với $$x\in\text{{$$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$$}}$$
2/
ĐKXĐ là: $$\begin{cases} x-1\ge0\\4\sqrt{x-1}-5\ne0 \end{cases}⇔\begin{cases} x\ge1\\\sqrt{x-1}\ne\dfrac{5}{4} \end{cases}⇔\begin{cases} x\ge1\\x\ne\dfrac{41}{16} \end{cases}$$
$$1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge\dfrac{16x^2-41x}{4\sqrt{x-1}-5}\text{(với $$x\ge1;x\ne\dfrac{41}{16}$$)}$$
$$⇔1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge\dfrac{(16x-16-25)x}{4\sqrt{x-1}-5}$$
$$⇔1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge\dfrac{16(x-1)-25}{4\sqrt{x-1}-5}.x$$
$$⇔1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge(4\sqrt{x-1}+5).x$$
$$⇔4x^2-5x+1\ge4x\sqrt{x-1}-3\sqrt{x-1}$$
$$⇔4x^2-4x-x+1\ge(4x-3)\sqrt{x-1}$$
$$⇔(4x-1)(x-1)-(4x-3)\sqrt{x-1}\ge0$$
$$⇔[(4x-1)\sqrt{x-1}-(4x-3)]\sqrt{x-1}\ge0$$
\(⇔\left[ \begin{array}{l}(4x-1)\sqrt{x-1}-(4x-3)\ge0\\\sqrt{x-1}=0\end{array} \right.\text{(vì $$\forall x\ge1$$ thì $$\sqrt{x-1}\geq0$$)}\)
\(⇔\left[ \begin{array}{l}(4x-1)\sqrt{x-1}\ge4x-3\\{x-1}=0\end{array} \right.\)
\(⇔\left[ \begin{array}{l}[(4x-1)\sqrt{x-1}]^2\ge(4x-3)^2\\x=1\end{array} \right.\)
$$⇒(4x-1)^2.(x-1)\ge(4x-3)^2$$
$$⇔(16x^2+1-8x)(x-1)\ge16x^2+9-24x$$
$$⇔16x^3-40x^2+33x-10\ge0$$
+)Đặt $$x=b-(\dfrac{-40}{16}:3)=b+\dfrac56$$, ta có:
$$16(b+\dfrac56)^3-40(b+\dfrac56)^2+33(b+\dfrac56)-10\ge0$$
$$⇔16(b^3+\dfrac{125}{216}+\dfrac52b^2+\dfrac{25}{12}b)-40(b^2+\dfrac{25}{36}+\dfrac53b)+(33b+\dfrac{55}{2})-10\ge0$$
$$⇔16b^3-\dfrac13b-\dfrac{55}{54}\ge0$$
$$⇔b^3-\dfrac{1}{48}b-\dfrac{55}{864}\ge0$$
Đa thức $$b^3-\dfrac{1}{48}b-\dfrac{55}{864}$$ có $$\Delta'=(-\dfrac{1}{48})^3.\dfrac{1}{27}+(\dfrac{-55}{864})^2.\dfrac14=\dfrac{7}{6912}>0$$
⇒Phương trình này có 1 nghiệm là:
$$+)b=\sqrt[3]{-\dfrac{-55}{864}.\dfrac12+\sqrt{\dfrac{7}{6912}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{-55}{864}.\dfrac12-\sqrt{\dfrac{7}{6912}}}=\dfrac{5}{12}$$
$$⇒x=\dfrac{5}{12}+\dfrac56=\dfrac54$$
⇒Đa thức $$16x^3-40x^2+33x-10$$ có nghiệm là $$x=1,25$$ và hệ số a = 16 > 0
$$⇒16x^3-40x^2+33x-10\ge0$$ với $$x\ge1,25$$ kết hợp với ĐKXĐ
Vậy $$\begin{cases} x\geq1,25\\x=1\\x\ne\dfrac{41}{16} \end{cases}$$
